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宋依铭的博客

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我现在是一名四年级的小学生了,爸爸在我的博客上发了很多关于很多学习的资料和教育话题,希望大家一起讨论。

破“百鸡”新法  

2013-12-08 11:21:58|  分类: 数学学习 |  标签: |举报 |字号 订阅

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破“百鸡”新法

《张丘建算经》中有这样一题:公鸡每只值5文钱,母鸡每只值3文钱,小鸡每3只值1文钱。现在用100文钱买100只鸡,公鸡、母鸡、小鸡各有多少只?

这是中国古代算术中的一类典型问题——百鸡问题,现代数学用不定方程求解,在小学阶段,不少同学都是用拼凑的办法来解决。这里介绍一种新方法,对小学生很适用。

1、求倍数。

每只公鸡值5文钱,每只母鸡值3文钱,每只小鸡值1/3文钱。以最便宜的小鸡为标准,公鸡和母鸡的价格分别是小鸡的5÷1/3=15倍和3÷1/3=9倍。

2、算超额。

假设100文钱全部买小鸡,可买100÷1/3=300只,超出实有三种鸡总数300-100=200只。

3、组等式。

由于公鸡置换成小鸡可多出自身只数的15-1=14倍,母鸡置换成小鸡可多出自身只数的9-1=8倍。不难理解,上述假设中多出的200只即为公鸡和母鸡置换成小鸡后一共增加的只数,关系式为:

公鸡只数×14+母鸡只数×8=200

4、试结果。

一般来说,不定方程的正整数解按关系式就可以观察得到。我们也可以先把等式变形,观察起来更为容易。方法是,在等式两边同时除以一个相同的数(0除外),得到等式右边为整数,左边只有一项系数是分数的形式。

在上式两边同时除以8,得到:

公鸡只数×7/4+母鸡只数=25

显然,公鸡只数必须是4的倍数。这样,从“4”起,依次用4的倍数去试算,可以得出三种情况:

1)公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只;

2)或公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只;

3)或公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只。

 

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下面再举一例来验证。

 

大数学家欧拉曾提出过这样的问题:一头猪31/2银币,一只山羊11/3银币,一只绵羊1/2银币。有人用100个银币,买了100头牲畜。问:猪、山羊、绵羊各多少?

猪的单价是绵羊的31/2÷1/2=7倍,山羊的单价是绵羊的11/3÷1/2=22/3倍,猪和山羊分别置换成绵羊,可多出自身只数的7-1=6倍和 22/3-1=12/3倍。如果100个银币都买绵羊,可买100÷1/2=200只,超出实有牲畜头数200-100=100头,这100头就是猪和山羊换成绵羊后多出的头数,列式:猪×6+山羊×12/3=100。显然,山羊的只数应是“3”的倍数,可以推算得到:

(1)猪15头,山羊6只,绵羊79只;

(2)或猪10头,山羊24只,绵羊66只;

(3)或猪5头,山羊42只,绵羊53只。

 

上述解法,我们可以用代数知识来帮助分析。

 

在第一题里,设公鸡、母鸡、小鸡分别有XYZ只,列出两个方程(方程组)

X+Y+Z=100      ……

5X+3Y+1/3Z=100   ……②

将方程②乘以3,就是15X+9Y+Z=300,与方程①相减(消去Z),得出

14X+8Y=200

两边同时除以8,就是7/4X+Y=25。显然X只能是4的倍数,依次试算,就能得到与前面相同的答案来。

这样一来,我们就会明白,所谓的“新法”,其实也并不新鲜,不过就是先用“消元法”把“三元”不定方程组演变成一个“二元”不定方程,然后有意识地将这个方程的某一个求知数的系数变成分数形式,便于观察这个未知数的值,其它未知数就不难推算了。

 

 

《张邱建算经》现传本有92问,比较突出的成就有最大公约数最小公倍数的计算,各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等。「百鸡问题」是《张邱建算经》中的一个著名数学问题。


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讲题过程。

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